項目簡介： 上世紀八十年代以后，拓撲學的重心轉到低維流形拓撲，特別是四維流形的拓撲等。同時，正曲率黎曼流形與代數族的拓撲一直是拓撲學與幾何學中重要的交叉研究課題。本項目正是從事在這些領域的研究并取得了以下主要成果：

1、1944年，美國科學院院士Whitney證明: "任何維數n>4的可定向閉流形可以嵌入到 (2n-1) 維歐氏空間"。1963年，Haefliger和Hirsch合作，推廣了Whitney定理，證明了"若n>4, 則一個n維光滑的閉流形M可以嵌入到(2n-1)維歐氏空間中的充要條件是M的第(n-1)個法Stiefel-Whitney類為零"。一個長期以來懸而未決的問題是：Whitney定理和Haefliger-Hirsch定理在四維是否成立？該問題曾先后被美國科學院院士Kirby、嵌入理論國際領袖人物Haefliger作為公開問題提出。方復全完全解決了這一問題，發表在拓撲學最好的雜志《Topology》（1994、2002）。

2、與戎小春合作，證明了"2-連通正夾曲率流形" 的有限性定理，同時部分解決了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐猜想。論文發表在《Invent.Math.》。該工作被法國科學院院士、美國科學院院士Gromov在其專著中引用、被法國科學院通訊院士Berger在其綜述報告"二十世紀后半葉的黎曼幾何"中引用；也是合作者戎小春在2002年"國際數學家大會"上45分鐘報告的主要部分。

3、在國際上首次將Seiberg-Witten不變量與群作用聯系起來，證明了"Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理"。審稿人稱"該成果是一項重要工作"。該成果被Furuta在2002年國際數學家大會45分鐘報告中引用。

4、完全解決了Libgober-Wood猜想。

5、將四維流形光滑結構與三維流形嵌入問題聯系起來，研究成果被Gompf寫入美國數學會研究生教材中。

主要發現點：

1、引入Surgery理論與配邊理論方法，完全解決了"四維流形到七維歐氏空間中的嵌入問題"，填補了Whiteney嵌入理論（于1944年奠定）在四維情形的空白, 回答了這一有五十多年歷史的遺留問題。該問題曾被美國科學院院士Kirby、嵌入理論國際領袖人物Haefliger作為公開問題提出（所屬學科分類：幾何拓撲學；代表論文[1][2][3]）。

2、與戎小春合作，證明了"對每個正數a，僅有有限多個2-連通的、夾曲率（即曲率K界于區間（a，1））的n維黎曼流形的拓撲同胚型"；并且"其單射半徑有一致的正下界"。對于2-連通的流形同時解決了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐的關于夾曲率黎曼流形的單射半徑猜想（所屬學科分類：微分幾何學、幾何拓撲學；代表論文[8][10]）。

3、在國際上首次將Seiberg-Witten不變量與群作用聯系起來，并給出Seiberg-Witten不變量的一個拓撲K-理論的解釋，由此證明了"Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理"，成為他人工作的基礎（所屬學科分類：幾何拓撲學；代表論文[4]）。

4、與人合作，將代數拓撲中深刻的Adams譜序列理論應用于配邊群的計算，發展了經典的Surgery理論，在國際上首次給出"復維數不超過4的完全交的拓撲分類"。其後，應用Sullivan示性簇理論，獨立地基本解決了任意維數完全交的拓撲分類問題，特別地，完全解決了Libgober-Wood猜想。這為德國數學家Bruckmann有關完全交模空間的研究奠定了基礎，也為Astey等人的后續工作奠定了基礎（所屬學科分類：幾何拓撲學；代表論文[6][7]）。

5、法國科學院院士、美國科學院院士Gromov(1981)證明："截面曲率>a，直徑 6、將四維流形的光滑結構問題與三維流形的嵌入問題聯系起來，證明了一大類非緊四維流形上存在有不可數多個光滑結構，推廣了菲爾茲獎獲得者Freedman在1979年的定理"S3xR上有無限多個光滑結構" （所屬學科分類：幾何拓撲學；代表論文[5]）。

主要完成人： 方復全

發現點（1）（3）（6）由申請人獨立完成；發現點（2）（5）由申請人和戎小春合作完成，申請人在其中承擔與拓撲相關的主要內容以及有關黎曼幾何的部分內容，發現點（4）由兩部分組成，其中前一部分由申請人與S.Klaus合作完成，申請人承擔其中幾何拓撲方面的工作；后一部分由申請人單獨完成。申請人在本項目中投入的工作量占全部工作量的90%以上。代表文章[1]至[10]全部是支持申請人貢獻的論文。

主要完成單位： 

10篇代表性論文： Embedding four manifolds in R7, Topology, 第33卷

Embeddings of nonorientable 4-manifolds into R6，Topology, 第35卷

Orientable 4-manifolds topologically embed in R7　Topology, 第41卷

Smooth group actions on 4-manifolds and Seiberg-Witten invariants，Inter.J. Math., 第9卷

Smooth structures on ΣxR,Topo. & Appl., 第99卷

Topological classification of four dimensional complete intersections, Manuscript. Math , 第90卷

Topology of complete intersections，Comment. Math. Helv, 第72卷

Positive pinching, Volume and Second Betti Numbers，Geom. Func. Anal., 第9卷

Curvature, diameter, rational homotopy type and cohomology rings, Duke Math. J. 第107卷

Second twisted Betti numbers and the convergence of collapsing Riemannian manifolds，Invent. Math. 第150卷