項目名稱： 非線性偏微分方程的自適應與多尺度計算方法

推薦單位： 北京市

項目簡介： 本項目屬計算數學基礎研究領域。

偏微分方程的自適應計算方法是計算數學和科學計算的重要研究領域。自適應有限元方法根據有限元后驗誤差估計自動調整網格，是一類具有最優計算復雜性的計算方法，具有重要的科學意義和實用價值。1995年以來陳志明在超導數學模型、波的散射問題、非飽和水流問題的后驗誤差分析和自適應方法的系統研究中取得多項國際領先成果。2001年針對Ginzburg -Landau超導數學模型，引入了非線性偏微分方程組有限元后驗誤差分析對偶論證的新方法，被Hoffmann和Tang在2003年出版的專著中全文引述。2003年以來提出和發展了波動散射問題的自適應PML（Perfectly Matched Layer完全匹配層）方法，2006年發表了非線性對流擴散問題自適應計算的創新性工作，后二項工作是陳志明2006年在西班牙舉行的國際數學家大會上所作45分鐘邀請報告的主題。

非均勻多孔介質中流動問題在油藏模擬、環境科學中具有廣泛應用，這類問題計算的本質困難在于地質構造的非均勻多尺度性。1999年以來陳志明從研究偏微分方程解的多尺度性質的數學刻畫入手，在保持質量守恒的多尺度混合有限元方法、處理機井奇性問題的多尺度計算方法、非線性對流擴散方程的尺度提升方法等問題的研究中取得多個原創性成果。2003年關于多尺度混合有限元方法的開創性工作在工程界得到廣泛重視，單篇被SCI他人引用37次。2004年提出的處理機井奇性的多尺度計算方法，在工程界得到很高評價，被認為是油藏模擬機井的數學嚴格處理上的先驅性（pioneering）工作。

本項目發表學術論文40篇，其中被SCI收錄35篇，按 SCI被他人引用276次。陳志明 2000年入選中國科學院"百人計劃"，2000年獲國家杰出青年基金，2001年獲馮康科學計算獎。2005年，2007年分別獲選為計算數學國際著名期刊美國SIAM Journal on Numerical Analysis和Mathematics of Computation的編委。2006年在西班牙舉行的國際數學家大會上做45分鐘邀請報告。

主要發現點： 1.核心發現點:

1) 提出并發展了波動散射問題的自適應PML方法

2003年針對光柵問題，首次提出了自適應PML(Perfectly Matched Layer完全匹配層)方法,該方法克服了傳統經驗性方法的缺點，利用嚴格的后驗誤差估計來確定PML層的厚度和PML吸收系數，利用網格自適應方法來求解PML方程，因此對PML層的厚度選取不敏感，且具有最優計算復雜性。2005年建立了Helmholtz方程散射問題的自適應PML方法，發現并證明了第一類Hankel函數在上半復平面的一致指數衰減性，構成了進一步電磁散射問題自適應PML方法的基礎(論文[2]，[5])。（所屬學科：偏微分方程數值解）

2) 建立非線性對流擴散問題的L^1后驗誤差估計，構造出具有最優復雜性的自適應方法

2006年針對非飽和水流問題，發表了非線性對流擴散問題后驗誤差分析的創新性工作。該工作利用"邊界層序列"技巧，首次將非線性守恒律方程著名的Kruzkov技巧推廣到帶有邊界條件的雙曲拋物耦合的非線性方程上，成功地得到豐滿的L^1后驗誤差估計。基于后驗誤差估計，構造了一個具有最優計算復雜性的自適應線方法（AML） 。雖然自適應方法求解橢圓問題的最優計算復雜性早已為人熟知，但是AML方法對于發展方程的最優性卻是本項目發現的，它的發現具有重要的科學意義（論文[3]）。（所屬學科：偏微分方程數值解）

3) 提出保持質量守恒的多尺度混合有限元方法

在2003年發表的開創性論文中，提出了多尺度混合有限元方法，該方法改進了多尺度有限元方法不保證質量守恒的缺點，更加適合于非均勻介質中流動問題的數值模擬。新方法被成功地應用于油藏模擬單相流問題的數值模擬，利用新方法僅用4000余個網格單元就可以得到與傳統方法用一百多萬個網格單元相同的計算結果，效率提高10倍以上（論文[1]）。（所屬學科：偏微分方程數值解）

2.重要發現點：

4) 提出處理機井奇性的多尺度計算方法

2003年首次建立了在工程界著名的Peaceman機井模型的數學基礎，將其改造使之適用于任意有限元網格和非均勻介質。通過引進針對機井奇性的新的有限元基函數，提出了處理機井奇性的高效多尺度計算方法，針對局部周期的介質得到了最優誤差估計，對非均勻多孔介質進行了成功的數值模擬（論文[4]）。（所屬學科：偏微分方程數值解）

主要完成人： 陳志明

代表作[1]-[8]主要學術思想的提出者，對發現點(1)-(4)作出了創造性貢獻：提出并發展了波動散射問題的自適應PML方法；建立了非線性對流擴散問題的L^1后驗誤差估計，構造了具有最優復雜性的自適應方法；提出了保持質量守恒的多尺度混合有限元方法；提出了處理機井奇性的多尺度計算方法等。旁證材料見代表性論文[1]-[8]，重要論文[9]-[18]和附件證明材料。本人在該項研究中的工作量占本人工作量的85%。