項目名稱： 無限維控制系統的結構理論

推薦單位： 中國科學院

項目簡介： 本項目屬數學控制論領域。許多數學家如J.M. Bismut、A. Friedman、J.L. Lions、P.L. Lions和L.S. Pontryagin等曾在該領域作出過重要工作。本項目用統一的思想、觀點和方法研究無限維系統的能控性、能觀性、長時間行為以及與之密切相關的偏微分方程的整體唯一延拓性質等，尤其是領域中某些長期懸凝的基本問題。

工作被4部專著、1本研究生教材和8篇關于領域進展的重要綜述報告（包括ICM大會報告和特邀報告各1個）他引，總他引222次，SCI總他引94次。引用者包括A.L. Bukhgeim、P. Cannarsa、J.M. Coron、E. Fernández-Cara、R. Illner、O.Yu. Imanuvilov、V. Isakov、I. Lasiecka（IEEE Fellow）、G. Lebeau（法國科學院院士）、T. T. Li、S. Micu、L. Pandolfi、A. Quarteroni（意大利國家科學院院士）、J.-P. Raymond、M. Renardy、J.J. Telega、E. Trélat、R. Triggiani、G. Uhlmann、M. Yamamoto和E. Zuazua等21位現任或曾任國際重要期刊的主編或編委，其中A. Quarteroni系ICM大會報告人，J.M. Coron、O.Yu. Imanuvilov、G. Lebeau、G. Uhlmann和E. Zuazua等5位系ICM特邀報告人。引用期刊包括SIAM Rev.、Arch. Ration. Mech. Anal.、Proc. R. Soc. Lond. A等。

O.Yu. Imanuvilov等國際同行的公開評價是"the strongest result"、"significant contribution"、"important contribution"、"important paper"、"very interesting decay results"、"an extensive and interesting discussion"、"The paper is very interesting"、"The main novelty of the paper is…"、"a very good and important survey"以及"a very extensive and interesting paper"等。張旭任SIAM J. Control Optim.和ESAIM Control Optim. Calc. Var.等4份國際期刊編委；先后10次在國際學術會議上作大會或特邀報告；曾獨立獲教育部自然科學一等獎等。

主要發現點： 核心發現點：

1、給出了一套基于"主型微分算子的逐點估計+整體Carleman型估計+通常能量估計"的關于偏微分方程能觀性估計的新方法，并得到其在無限維系統的能控性、反問題、以及分析系統的長時間行為等方面的諸多應用。該方法與前人工作的區別，一是不依賴于任何已知的的唯一延拓性質，二是可以給出能觀性常數的顯式估計，三是不需要緊性，四是不依賴于方程的類型和特征等，從而可以解決領域中某些長期懸凝的基本問題，克服學科發展的某些障礙。（該工作被E. Zuazua的ICM2006特邀報告引用）。(學科：數理偏微分方程、控制論。代表性論著：[1]，[2])；

其它重要發現點：

2、在一定程度和意義下建立了拋物型和雙曲型方程統一的能控性理論，是該問題自1973年被領域創始人之一D.L. Russell提出以來僅有的進展。發現原先各自獨立發展的拋物型和雙曲型方程的能控性理論之間的有機聯系，即證明了對精確能控的雙曲型方程的奇異攝動問題取極限即得到某個拋物型方程的能控性，且拋物型方程的能控性結果都可以由某個雙曲型方程的能控性推出。尤其是發現可從同一個關于"類拋物"微分算子的恒等式出發給出這兩類性質完全不同的方程能控性問題的統一處理。(學科：控制論、數理偏微分方程。代表性論著：[3]，[4])；

3、發現一類偏微分方程整體唯一延拓性質的奇異現象，即其解唯一與否依賴于其低階項系數的零點的位置，說明研究偏微分方程的整體唯一延拓性質有其獨立的意義。對一些具非光滑系數的偏微分方程給出了整體唯一延拓性質和能觀性估計的統一方法及其在控制論中的應用，部分解決了L. Hormander的一個猜測。(學科：數理偏微分方程、控制論。代表性論著：[5]，[6]，[9])；

4、發現一類描寫水下機器人及心血管運動等模型的雙曲拋物耦合組的控制和觀測等問題與經典情形有本質差別，并給出了一套在分析有關現象中需要的關于指數和的Ingham型不等式的新方法，即基于某個偏微分方程的能觀性估計（與文獻中常見的基于函數論或解析數論的方法不同）。（該工作被A. Quarteroni的ICM2006大會報告引用）。(學科：數理偏微分方程、控制論。代表性論著：[7])；

5、用統一的方法給出了在任何空間維數下，關于非線性函數可能超線性增長時半線性波動方程和半線性板方程的整體精確能控性結果。就這些非線性方程而言，對J.L. Lions在"SIAM Rev., 30（1988）, 1-68"中提出的（并明確指出是）兩個最重要的問題之一給出了解答。(學科：控制論、數理偏微分方程。代表性論著：[8]，[10])。

主要完成人： 張旭

獨立完成發現點1（它是本項目其它工作的基礎和主要工具）；在發現點2中，給出了對證明精確能控的雙曲型方程的奇異攝動問題的極限即某個零能控的拋物型方程起關鍵作用的能觀性常數的估計，其余部分系獨立完成；在發現點3中，對發現偏微分方程整體唯一延拓性質的奇異現象起關鍵作用。對該發現點的其余部分，從問題的提出到重要技術突破都有主要貢獻；在發現點4中，給出了在分析一類雙曲拋物耦合組的控制和觀測等問題的新現象中至為重要的關于指數和的Ingham型不等式的新方法；獨立完成發現點5。在該項研究中的工作量占本人工作量的88％。系代表作[1][2][3][8][10]唯一作者，[5][6][7][9]主要學術思想的提出者，在[4]中作出最關鍵的技術突破。