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當軸心受壓時，有  ，再將方程（2）兩邊同時除以 ，展開后則方程（2）成為
 (3)
這就是L形鋼異型柱在軸心受壓情況下的穩定方程，它是關于壓力P的一元三次方程。我們將根據一元三次方程根的性質，求解它的根。
2 換算長細比
由文獻[1]我們知道，方程（3）是齊次方程（4）的特征方程。
 (4)
將方程（4）寫成如下形式：
令：  
得： （５）
因為 為對角陣，且各主元素都大于零，而 ，所以矩陣、 的各階順序主子式的行列式均大于零，且矩陣、均為實對稱矩陣，根據線性代數有關定理可知、均為正定矩陣，L形鋼異形柱軸心受壓承載力是正定系統。類比機械振動理論 問題，其中 為系統的剛度矩陣，  為系統的質量矩陣，、都為正定矩陣，則由 解出的 個  的值，即、矩陣對的廣義特征值均為正實數，且互不相等。由此得出，本文方程  的根是、矩陣對的廣義特征值  ，展開后一元三次方程（3）的根是三個正的互不相等的實數。求解如下。
令：  
  （6）
于是方程（3）就可以簡寫為：
 （7）
再令  ，方程（7）就可以表示為：
 （8）
令：  
所以，方程（8）就可以表示為：  （9）
根據本文所研究的問題，可以證明
 （10）
    （11）
由此，我們利用卡丹公式的根的三角函數表達形式，就可以得出一元三次方程（9）的三個根  、  、 為：
（12）
式中：   （13）
所以，一元三次方程（3）的三個根  、  、 為：
   （14）
由于、、為三個互不相等的正實根，因此，L形鋼異形柱在軸心受壓情況下的臨界力的理論解為： 。下面比較、、三個力的大小：
通過分析可知：  ，  ， 
 ，  ， ，
  、 且
   且 又 
 即 
即L形鋼異形柱在軸心受壓情況下的穩定臨界力的理論解為：
 （15）
若定義： （16）
式中  為柱換算長細比，結合（15）式，并將（6）、（13）等參數代入，再 令
 （17）
則得： （18）
這就是L形截面柱換算長細比。
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