項目簡介：  

本項目是代數(shù)表示論、無限維李代數(shù)和量子群的交叉研究項目，它與群表示論、代數(shù)幾何及數(shù)學物理等緊密聯(lián)系。代數(shù)表示論是當今代數(shù)學研究的重要方向，quiver表示成為眾多核心數(shù)學分支的重要工具。利用代數(shù)表示論的成果和代數(shù)幾何方法，從quiver表示角度來考察李代數(shù)、量子群等相關問題，深入到了當今數(shù)學發(fā)展的前沿。

作為理論的一個發(fā)展，量子群的內涵非常豐富和深刻，不僅包含了半單李群、李代數(shù)的經典內容，同時，也包含了Kac-Moody李代數(shù)等許多現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展。Ringel由quiver表示導出的Hall代數(shù)為量子群的正部分提供了一個精確模型，在此基礎上，Lusztig和Nakajima等人利用代數(shù)幾何和微分幾何等方法把量子群定義在quiver variety的Perverse sheaf上，獲得了巨大成功。Hall代數(shù)方法與三角范疇、導出范疇的結合，是當前國際代數(shù)與幾何表示論研究的重要內容。一方面，它可以得到Kac-Moody李代數(shù)及其量子包絡代數(shù)的精確實現(xiàn)；另一方面，溝通了凝聚層范疇和K.Saito的擴大仿射根系與橢圓李代數(shù)的深入聯(lián)系。

獲得的進展包括：1.在三角范疇上發(fā)現(xiàn)了一種內蘊對稱，這種對稱給出了一個無限維李代數(shù)結構，在導出范疇上成功地實現(xiàn)了一切可對稱化Kac-Moody李代數(shù)的結構。2.由tubular代數(shù)表示的導出范疇精確實現(xiàn)了K.Saito的橢圓李代數(shù)的整體構造、結構常數(shù)和Chevalley整形式。發(fā)現(xiàn)了代數(shù)表示論與幾何奇點理論在李代數(shù)架構下的精確聯(lián)系，并完整回答了I.Frenkel的一個公開問題。3.對double Ringel-Hall代數(shù)做出了系統(tǒng)徹底的研究，包括BGP反射函子導出辮子群對量子群的作用，Double Ringel-Hall代數(shù)作為廣義Kac-Moody李代數(shù)的量子包絡代數(shù)的實現(xiàn)模型，給出quiver表示的Kac定理的一個全新證明，發(fā)現(xiàn)Ringel-Hall代數(shù)和Kac猜想的深刻聯(lián)系。本項目的成果在國際上有極大影響：十篇代表論文在SCI網絡版中被引用60次，其中他引27次；在四屆國際代數(shù)表示論大會上做一小時特邀報告；成果入選AMS的Featured Review等。

主要發(fā)現(xiàn)點： 

（1） 由三角范疇和導出范疇實現(xiàn)整體量子群和李代數(shù)，是由論文[7]的工作開始的，現(xiàn)在已成為國際研究的一個前沿。Ringel的Hall代數(shù)方法、Lusztig的Perverse Sheaf方法，都是量子群或李代數(shù)正部分的實現(xiàn)，所以，尋找量子群和李代數(shù)的整體實現(xiàn)是一個長期公開難題。論文[1]就是在三角范疇上整體實現(xiàn)了Kac-Moody李代數(shù)。本發(fā)現(xiàn)點屬于學科分類1和2，對應十篇代表論文中的[1]和[7]。

（2）只有在仿射型時，頂點算子代數(shù)作為精確模型，一般型的Kac-Moody李代數(shù)沒有實現(xiàn)模型。Kac提出：給出一般型的Kac-Moody李代數(shù)的實現(xiàn)模型是整個理論中的最基本的公開問題。論文[1]在三角范疇水平上精確實現(xiàn)了可對稱化的一般型Kac-Moody李代數(shù)，正面回答了這個問題。本發(fā)現(xiàn)點屬于學科分類1和2，對應十篇代表論文中的[1]。

（3）論文[1]和[7]的工作表明，在三角范疇內部，存在著普遍對稱性。這種對稱性可用Jacobi等式反映出來。對應于一類典型的三角范疇得到Kac-Moody李代數(shù)的實現(xiàn)，同時還存在著其它類型的三角范疇，這預示著會有重要的無限維非Kac-Moody型的李代數(shù)由此產生。本發(fā)現(xiàn)點屬于學科分類1和2，對應十篇代表論文中的[1]和[2]。

（4）非Kac-Moody型的李代數(shù)的第一個非平凡情形就是K.Saito的橢圓型李代數(shù)。由tubular代數(shù)的導出范疇成功實現(xiàn)了這一李代數(shù)的整體構造。在K.Saito的本原理論的系統(tǒng)綱領中,本項目組完成了橢圓型仿射根系與奇點理論的范疇化模型。本發(fā)現(xiàn)點屬于學科分類1和2，對應十篇代表論文中的[2]。

（5）建立了Hall代數(shù)的Drinfeld Double，得到了antipode公式。由此將代數(shù)表示論的工具應用于李理論和量子群的研究，完成和發(fā)現(xiàn)了辮子群對exceptional序列的作用導出了量子群中根向量的算法，quiver表示的BGP反射函子導出了量子群中Lusztig對稱子及其基本性質。本發(fā)現(xiàn)點屬于學科分類1和3，對應十篇代表論文中的[3]、[5]、[6]、[8]、[9]和[10]。

（6）反過來，量子群和Hall代數(shù)的可積高權表示的Weyl-Kac特征公式，可以應用于代數(shù)表示論中quiver和遺傳代數(shù)表示的研究。本項目組為遺傳代數(shù)表示的Kac定理提供了一個全新的觀察角度和證明方法，發(fā)現(xiàn)了Kac猜想與Hall代數(shù)的精確聯(lián)系。本發(fā)現(xiàn)點屬于學科分類1和2，對應十篇代表論文中的[3]和[4]。

總之，肖彭鄧林的創(chuàng)新之處是，充分利用代數(shù)表示論的最新成就和技巧對李理論的應用和滲透，利用Hall代數(shù)和三角范疇對李代數(shù)和量子群的整體實現(xiàn)，是李表示論方面的一個新進展。

主要完成人：

1.  肖杰

1.用導出范疇和三角范疇對李代數(shù)和量子群實現(xiàn)的研究；2.Double Ringel-Hall 代數(shù)的系統(tǒng)研究。對主要發(fā)現(xiàn)點中(1),(2),(3),(5),(6)做出了創(chuàng)造性貢獻,在該項研究中的工作量占本人工作量的百分之八十.主要貢獻見代表論文[1]、[3]、[4]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。

2.  彭聯(lián)剛

建立了2-周期三角范疇上的Ringel-Hall 李代數(shù)理論，利用導出范疇的根范疇實現(xiàn)了所有可對稱化的Kac-Moody代數(shù)和K.Saito等人的D4,E6,E7,E8型的橢圓李代數(shù)。對主要發(fā)現(xiàn)點中(1),(2),(3),(4)做出了創(chuàng)造性貢獻,在該項研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要貢獻見代表性論文[1]、[2]、[7]。

3.  鄧邦明

對Double Ringel-Hall 代數(shù)作為量子群精確模型的系統(tǒng)研究；循環(huán)quiver表示與A型仿射量子群典范基的構造。對主要發(fā)現(xiàn)點中(5),(6)做出了創(chuàng)造性貢獻,在該項研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要貢獻見代表論文[3]、[4]、[5]、[9]。

4.  林亞南

證明了D4,E6,E7,E8型的橢圓李代數(shù)可以經過Ringel-Hall代數(shù)由tubular代數(shù)的導出范疇得到整體實現(xiàn)。對主要發(fā)現(xiàn)點中(4)做出了創(chuàng)造性貢獻,在該項研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要貢獻見代表性論文[2]。

10篇代表性論文： 

1.   Triangulated categories and Kac-Moody algebras / Invent.Math.

2.   Elliptic Lie algebras and tubular algebras / Advances in Mathematics

3.   On double Ringel-Hall algebras / Journal of Algebra

4.   A new approach to Kacs theorem on representations of valued quivers/ Math. Z

5.   Monomial bases for quantum affine SLn / Advances in mathematics

6.   Drinfeld double and Ringel-Green theory of Hall algebras /Journal of Algebra

7.   Root categories and simple Lie algebras / Journal of Algebra,

8.   On Ringel-Hall algebras of tame hereditary algebras/ Algebras and Representation Theory

9.   Ringel-Hall algebras and Lusztigs symmetries / Journal of Algebra

10.  Exceptional sequences in Hall algebras and quantumgroups / Compositio Math