項目簡介：  

本項目屬于基礎科學中的數學研究領域。主要研究內容包括：1. 建立Hamilton系統一般共振情形下的KAM理論，證明了關于動力學基本問題的一個重要猜測；2. 建立廣義Hamilton系統不變環面的保持性理論和有效穩定性結果。

研究成果的重要科學價值在于：

1. 著名的KAM理論回答了非共振情形下大多數動力學的基本問題，而對共振情形并不能從中得出什么結論。關于共振情形KAM理論的成果，直接斷定了共振情形可積系統的大多數擬周期軌道在小攝動之下仍能保持下來，從而可以作為經典KAM理論的一個補充；2. 對廣義Hamilton系統，能否有類似于KAM型結論？有些學者認為是"challenging problem"，具有重要的科學意義。關于廣義Hamilton系統不變環面保持性的工作，對這一問題給出了比較完整的回答。上述工作引起一定的反響。著名數學家Sevryuk、Broer、de la Llave和Allgower等認為這些工作是重要的：發現了一類新的(Atropic)不變環面，完善了不變環面的分類；在共振環面的保持性理論方面獲得的結果對共振情形的動力學基本問題給出了完整的刻畫，等等。他們在一些重要學術雜志、專著以及評論中對上述工作給予了很高的評價，他們對上述工作的評價中使用了"complete picture"，"landmark paper"，"verify a conjecture"，"substantial papers"，"important paper"，"the most important"， "essential"，"key contributation"，"first observed"，"new and pormising branch"等詞語。項目組成員發表論文50余篇，1999年以來10篇代表性論文他人引用36次，SCI他人引用18次。這些工作多次被項目組成員及其合作者在重要國際學術會議，如有百年歷史的EQUADIFF(2003)，上做大會報告。先后承擔了包括國家973計劃、國家杰出青年科學基金、海外青年學者合作研究基金、國家自然科學基金重點項目、國家自然科學基金和教育部跨世紀優秀人才資助計劃等在內的多項科研項目。

主要發現點：

1. 對共振情形的動力學基本問題給出了肯定的回答，解決了這一研究領域的一個重要猜測，證明了在通常的非退化條件下，可積系統的各種類型(尤其是橢圓和混合型)的共振環面大多數在小攝動之下保持下來(微分動力系統，支持該發現點的代表性論文是[1]，[2]，[7])；

2. 建立了廣義Hamilton系統不變環面的保持性理論，對具有退化性(包括奇數維)Poisson結構的廣義Hamilton系統給出了KAM型結果(微分動力系統，支持該發現點的代表性論文是[3]，[4]，[9]，[10])

3. 找到了一種新的不變環面，被國外學者命名為"atropic invariant tori"。這一結果被認為是過去10多年KAM理論研究中最重要，同時也是很少理解的結果(微分動力系統，支持該發現點的代表性論文是[3])；

4. 首次給出了廣義Hamilton系統的有效穩定性結果，拓廣了有效穩定性理論的應用范圍(微分動力系統；非線性常微分方程，支持該發現點的代表性論文是[8])；

5. 建立擬線性或修正的KAM迭代格式，以克服微分結構的變化以及作用-角變量的個數的不同所帶來的復雜性，使得KAM迭代方法能適合具有一般法形結構的系統；提出了部分頻率比保持的概念(微分動力系統，支持該發現點的代表性論文是[2]，[5]，[9])；

6. 給出了Poincaré-Birkhoff扭轉定理的構造性證明，為求二維哈密頓系統的周期解提供了大范圍收斂性方法(非線性常微分方程，支持該發現點的代表性論文是[6])。

主要完成人：

1.  李勇

作為本項目總負責人，全面負責本項目研究的總體學術思想的構想和關鍵技術的設計，組織研究方案的擬訂和研究工作的全面展開。

對本項目的發現點1、2、3、4、5、6做出重要的貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文。

2.  從福仲

本人對項目的第1、2、3、4發現點做出貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文中的[1]、[3]、[8]。

3.  史少云

本人對項目的第1發現點做出貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文中的[7]。

4.  黃慶道

本人對項目的第3發現點做出貢獻。

投入該項目的科研工作量占自己總工作量的80%。

支持本人貢獻的論文是10篇代表性論文中的[3]。

10篇代表性論文：

1.   KAM-type theorem on resonant surfaces for nearly integrable Hamiltonian systems /J. Nonlinear Sci.

2.   A quasiperiodic Poincaré theorem / Math. Ann.

3.   Persistence of hyperbolic invariant tori for Hamiltonian systems / J. Differential Equations

4.   Persistence of invariant tori for generalized Hamiltonian systems / Ergod. Th & Dyn. Sys.

5.   Persistence of invariant tori on submanifolds in Hamiltonian systems / J. Nonlinear Sci.

6.   A constructive proof of the Poincaré-Birkhoff theorem / Trans. Amer. Math. Soc.

7.   Partial integrability for general nonlinear systems / Z. Angew. Math. Phys.

8.   Effective stability for generalized Hamiltonian systems/Science in China Ser. A Mathematics

9.   Persistence of lower dimensional tori of general types in Hamiltonian systems / Trans. Amer. Math. Soc.

10.  Persistence of hyperbolic tori in Hamiltonian systems / J. Differential Equations