項(xiàng)目簡介：  

本項(xiàng)目受國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（整體微分幾何及其物理應(yīng)用）和國家973項(xiàng)目（核心數(shù)學(xué)的前沿問題）的支持，屬基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。研究成果主要包含二個(gè)方面：

成果一：

對一般辛流形率先提出并建立了相對Gromov-Witten不變量理論，其結(jié)果發(fā)表在國際頂尖數(shù)學(xué)雜志《Invent. Math.》上。

這是一項(xiàng)基礎(chǔ)性的工作，在辛拓?fù)�，Hurwitz數(shù)，雙有理幾何，Mirror對稱等很多問題的研究中有重要應(yīng)用。利用這套理論, 本項(xiàng)目完成了E. Witten穿墻公式的數(shù)學(xué)證明；證明了任何兩個(gè)三維光滑極小模型有同構(gòu)的量子上同調(diào)環(huán), 并且這個(gè)同構(gòu)是由flop手術(shù)所誘導(dǎo)的；證明了量子上同調(diào)在逆conifold變換下是自然的，這揭示了量子上同調(diào)與雙有理幾何之間的深刻聯(lián)系。

該成果被國際同行廣泛引用，他人引用已有60多篇。許多引用論文發(fā)表在國際數(shù)學(xué)著名刊物上，如Ann.of Math.,Invent. Math.,J.Diff., Duke. Math.J.等。

成果二：

把相對GW不變量和辛手術(shù)理論應(yīng)用于研究黎曼面上的分歧覆蓋的Hurwitz計(jì)數(shù)問題。Hurwitz計(jì)數(shù)問題的研究已有百余年歷史，近年來由于弦理論，尤其是關(guān)于�？臻g上的Hodge 積分理論的發(fā)展，該問題引起了數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的廣泛重視。長期以來，經(jīng)典的研究都是將Hurwitz數(shù)聯(lián)系到置換群的分解，本項(xiàng)目率先將Hurwitz數(shù)與相對Gromov-Witten不變量聯(lián)系起來，導(dǎo)出了計(jì)算Hurwitz數(shù)的遞推公式和 Cut-Join 方程，這個(gè)方法是全新的。論文發(fā)表在國際重要的數(shù)學(xué)期刊Commun.Math.Phys.。論文發(fā)表以來，國際上他人引用已20篇，其中的許多論文發(fā)表在國際數(shù)學(xué)著名刊物上，如Ann.of Math., J. Diff. Geom. 等。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)：

本項(xiàng)目的新發(fā)現(xiàn)是：

1. 率先提出并建立了相對GW不變量理論：1）引進(jìn)了相對穩(wěn)定全純映射的�？臻g，2）證明了一個(gè)緊性定理并定義了相對GW不變量；3）導(dǎo)出了GW不變量在辛Cutting手術(shù)下的粘合公式（又稱退化公式）。這是一項(xiàng)基礎(chǔ)性的工作，有很多重要應(yīng)用。如辛拓?fù)�、Hurwitz 數(shù)、雙有理幾何、 mirror 對稱等。利用相對GW不變量理論，完成了Witten穿墻公式的數(shù)學(xué)證明；證明了任何兩個(gè)三維光滑極小模型有同構(gòu)的量子上同調(diào)環(huán)；證明了量子上同調(diào)環(huán)在逆conifold變換下是自然的。

2. 率先把相對GW不變量和辛手術(shù)理論用于研究黎曼面上的分歧覆蓋的Hurwitz計(jì)數(shù)問題。通過把Hurwitz數(shù)解釋為相對GW不變量，導(dǎo)出了計(jì)算Hurwitz數(shù)的遞推公式 和 Cut-Join 方程，為該問題的研究提出了全新的觀念。

主要完成人：

1.  李安民

【1】率先提出并建立了相對GW不變量理論：引進(jìn)了相對穩(wěn)定映射的模空間，證明了緊性定理，從而引進(jìn)了相對GW不變量，并應(yīng)用它證明了GW不變量在辛Cutting手術(shù)下的粘合公式（退化公式）。利用相對GW不變量理論，完成了Witten穿墻公式的數(shù)學(xué)證明；證明了任何兩個(gè)三維光滑極小模型有同構(gòu)的量子上同調(diào)環(huán)；證明了量子上同調(diào)環(huán)在逆conifold變換下是自然的。該文含分析部分（相對穩(wěn)定映射、相對GW不變量、退化公式）和代數(shù)幾何部分，論文的主要部分是分析部分。該文是李-阮長期合作的結(jié)果。李安民對分析部分做出了關(guān)鍵的貢獻(xiàn)。

【2】率先把相對GW不變量理論用于研究Hurwitz問題，導(dǎo)出了遞推公式和Cut-Join方程。李安民在其中起主要和關(guān)鍵作用。

10篇代表性論文：

1.   Symplectic surgery and Gromov-Witten invariants of Calabi-Yau 3-folds, Invent. Math. 145, 151-218(2001)

2.   The number of Ramified Covering of a Riemann Surface by Riemann surface, Commun.Math.Phys.213, 685-696(2000)