項目名稱： 調和映射與極小超曲面以及等參超曲面的幾何拓撲

推薦單位： 專家推薦

項目簡介： 該項目屬于基礎數學中的微分幾何與拓撲學，對若干基本問題和著名猜想，取得了突破性的研究成果，產生了廣泛的國際影響。證明了三維歐氏空間中的完備穩定極小曲面是平面, 被公認為Bernstein 定理的實質推廣；對球面中的極小超曲面，證明了常數量曲率的第二間隙定理，這是關于陳省身猜想的首次突破性進展；關于球面或對稱空間中等參超曲面的幾何拓撲，得到了非常系統的研究結果；構造了球面之間許多新的調和映射，解決了調和映射權威Eells J.教授公開提出的若干難題。

該項目研究的問題，由陳省身、丘成桐、 Eells J 、Gromov M 等人公開提出，是微分幾何中基本而又富有挑戰性的問題。該項目13篇主要論文，發表在國際數學界最有影響的叢書或雜志如：Bull. Amer. Math. Soc.（2篇),（SCI 影響因子2.385), Ann. of Math. Stud. , Topology (2篇)。

該項目的13篇主要論文被SCI 期刊論文他引169 次，特別是被國際數學頂尖雜志 Ann. of Math.他引3次， J. of AMS 1次，Invent. Math. 3次， Topology 5次， JDG 11次，Ann. of Math. Stud. 3次，Duke Math. J. 4次。 這些引文的作者是Yau ST(丘成桐)，Meeks WH, Eells J, Lawson HB, Peter Li, Schoen R 等著名數學家。另外，還被Peter Li 在2002年國際數學家大會報告所引用。

該項目的論文被丘成桐在他的《 Problem Section 》中評價為"Made a breakthrough", 被M. do Carmo 在《 Math. Review 》中評價為"Important paper"，被 Thorbergsson G. 在《微分幾何手冊（英文）》中評價為"A very thorough study "，被Cheng 在丘成桐主編的書中稱為" Peng-Terng Theorem", 被 Meeks WH 在他的《Ann. of Math. 》論文中稱為極小曲面的穩定性定理。項目完成人曾應邀在丘成桐的首屆國際復幾何大會（北京）和Eells J 的第二屆國際調和映射會議（法國）做大會特邀報告。項目完成人兩人均被國際4大數學中心邀請訪問：美國Princeton, MSRI Berkeley, 法國IHES, 德國馬普數學所。

主要發現點：

本項目對微分幾何的若干基本問題和著名猜想，獲得了突破性進展，得到了國際幾何學界的公認和廣泛引用。13篇主要論文，發表在《 Bull. Amer. Math. Soc. 》（2篇）,《 Ann. of Math. Stud. 》,《 Topology 》(2篇),《 Math. Ann. 》等最有影響的數學刊物。被SCI 雜志他引169 次，其中，被《Ann. of Math.》他引3次，《 J. of AMS 》1次，《Invent. Math.》3次，《 Topology 》5次，《 JDG 》11次，《Ann. of Math. Stud. 》3次，《Duke J. Math.》4次。這些引文的作者分別是Yau ST，Meeks WH, Eells J., Lawson HB, Peter Li, Schoen R. 等著名數學家。另外，還被Peter Li 在2002年國際數學家大會報告所引用。

（一）核心發現點：

(1) 極小曲面。代表性論文[1]證明了三維歐氏空間中完備穩定極小曲面一定是平面。此結果被丘成桐在《幾何問題集》中稱為Bernstein定理的推廣，已成為幾何學界著名的定理，并被《Ann. of Math.》等 SCI 雜志78次他引，被 Meeks WH 在他的《Ann. of Math. 》論文中稱為極小曲面的穩定性定理；被 Peter Li 在2002國際數學家大會的報告引用。

(2) 球面中極小超曲面。Simon J, 陳省身，do Carmo, Kobayashi S, Lawson HB ,丘成桐等人對球面中第二基本型長度平方為常數S 的緊致極小超曲面有初步進展，他們公開猜想S必取離散值并問下一個S取何值。代表性論文[2]、[3]取得了突破性進展，被丘成桐在《幾何問題集》中稱為“ Made a breakthrough", 被M. do Carmo 在《 Math. Review 》中評為"Important paper"，"delicate"。被Cheng在丘成桐主編的書中稱為 "Peng-Terng Theorem"并多次提到。

(3) 調和映射。主要論文[5 ]、[6 ]、[ 7]、[9 ]獲得了球面之間許多新的調和映射，有兩篇發表在拓撲學界權威雜志《Topology》；解決了 Eells J 公開提出的若干難題，被田剛稱為“a number of very significant results " 。分別應邀在丘成桐主持的首屆國際復幾何大會和Eells J. 主持的國際調和映射會議作一小時大會演講。

（二）其他重要發現點

(4) 等參超曲面。 我們研究了主曲率重數的取值范圍。代表性論文[4 ]、[ 8]分別被 Thorbergsson G. 在《微分幾何手冊（英文）》中評價為"A very thorough study "，被Cecil T.在《Ann. of Math.》上的論文引用。

(5) 黎曼流形的等距浸入。代表性論文[ 10]綜合幾何與拓撲，得到許多結果，例如構造了Klein 瓶到三維球面的雙曲浸入，從而解決了Gromov M 在專著《Partial Diff Relations》p.276 的一個公開難題。

主要完成人： 唐梓洲

1. 構造出新的球面之間的調和映射使之拓撲度非平凡（使用正交乘法和法標架協邊理論）；

2. 球面中或對稱空間中等參超曲面的幾何拓撲的研究（使用纖維叢理論和群作用理論）；

3. 球面中多項式調和映射的構造（使用Cartan 的等參多項式理論）。

4. 等距浸入的存在性研究與 Gromov 問題的解決。

彭家貴

1. 關于極小曲面的研究, 證明了3 維歐氏空間中穩定完備極小曲面是平面。

2. 關于球面中數量曲率為常數S的極小超曲面，S的取值間隙的研究和發現。

3. 極小超曲面與等參超曲面內在聯系的揭示。

4. 等參梯度映射拓撲度的計算，對球面間調和映射的應用。