項目名稱： 四維流形拓撲與正曲率黎曼流形的拓撲

推薦單位： 專家推薦

項目簡介： 本項目研究了四維流形的拓撲與正曲率黎曼流形的拓撲，這是拓撲學和幾何學中最重要的研究課題之一，主要完成人方復全在本項目中主要取得了以下五方面的代表性成果：

1、完全解決了四維流形在七維歐氏空間中的嵌入問題：1944年，美國科學院院士Whitney證明: "任何維數n>4的可定向閉流形可以嵌入到(2n-1) 維歐氏空間"。1963年，Haefliger和Hirsch推廣了Whitney定理，證明了"若n>4, 則一個n維光滑的閉流形M可以嵌入到(2n-1)維歐氏空間中的充要條件是M的第(n-1)個法Stiefel-Whitney類為零"。一個長期以來懸而未決的問題是：Whitney定理和Haefliger-Hirsch定理在四維是否成立？該問題曾先后被美國科學院院士Kirby、嵌入理論國際領袖人物Haefliger作為公開問題提出。該問題最終由方復全完全肯定回答，論文發表在拓撲學最好的雜志《Topology》（1994、2002）。

2、證明了"2-連通正夾曲率流形" 的有限性定理，同時部分解決了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐猜想（與戎小春合作）。論文發表在《Invent.Math.》。該工作被法國科學院院士Gromov在其專著中引用、被法國科學院通訊院士Berger在其綜述報告"二十世紀后半葉的黎曼幾何"中引用；也是合作者在2002年"國際數學家大會"上45分鐘報告的主要部分之一。

3、證明了"Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理"， 在國際上首次將Seiberg-Witten不變量與群作用聯系起來。該成果被Furuta在2002年國際數學家大會45分鐘報告中引用，并引發了他人多項后續工作。

4、得到了一批有不可數多個不同光滑結構的四維流形，相關研究成果被Gompf- Stipsicz寫入美國數學會研究生教材中。

5、證明了"Libgober-Wood猜想"，實質性地啟發了他人后續工作。

主要發現點： 1、引入Surgery理論與配邊理論方法，完全解決了"四維流形到七維歐氏空間中的嵌入問題"，填補了Whiteney嵌入理論（于1944年奠定）在四維情形的空白, 回答了這一有五十多年歷史的遺留問題。該問題曾被美國科學院院士Kirby、嵌入理論國際領袖人物Haefliger作為公開問題提出（所屬學科分類：幾何拓撲學；代表論文[1][2]）。

2、（與戎小春合作) 證明了"對每個正數a，僅有有限多個2-連通的、夾曲率（即曲率K屬于區間（a，1））的n維黎曼流形的拓撲同胚型"；并且"其單射半徑有一致的正下界"。對于2-連通的流形同時解決了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐的關于夾曲率黎曼流形的單射半徑猜想（所屬學科分類：微分幾何學、幾何拓撲學；代表論文[3][4]）。

3、在國際上首次將Seiberg-Witten不變量與群作用聯系起來，并給出Seiberg-Witten不變量的一個拓撲K-理論的解釋，由此證明了"Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理"，成為他人工作的基礎（所屬學科分類：幾何拓撲學；代表論文[7]）。

4、應用Sullivan示性簇理論，部分解決了任意維數完全交的拓撲分類問題，特別地，證明了Libgober-Wood猜想，也為Astey等人的后續工作奠定了基礎。另一方面，與人合作，將代數拓撲中深刻的Adams譜序列理論應用于配邊群的計算，發展了經典的Surgery理論，在國際上首次給出"復維數不超過4的完全交的拓撲分類"。這為德國數學家Bruckmann有關完全交�？臻g的研究奠定了基礎，（所屬學科分類：幾何拓撲學；代表論文[9][10]）。

5、法國科學院院士、美國科學院院士Gromov(1981)證明："截面曲率>a，直徑 6、將四維流形的光滑結構問題與三維流形的嵌入問題聯系起來，證明了一大類非緊四維流形上存在有不可數多個光滑結構（所屬學科分類：幾何拓撲學；代表論文[8]）。

主要完成人： 方復全

本人投入本項目的工作量占本人工作量的百分之九十以上。主要發現點1、3、6系本人獨立完成的工作（代表論文[1][2][7][8][9]），發現點2、4、5系本人與人合作的成果（代表論文[3-6][10），本人在其中的貢獻是主要和本質的。