項目名稱： 約束力學系統的對稱性與幾何動力學

推薦單位： 湖南省

項目簡介： 本項目屬于力學學科中的基礎力學和一般力學的基礎理論研究。約束力學系統系指完整約束系統，非完整約束系統和Birkhoff系統等。對稱性主要指Noether對稱性，Lie對稱性，形式不變性等。幾何動力學系指用近代微分幾何工具，如流形，纖維叢，聯絡等來描述力學系統動力學。 約束力學系統的對稱性與幾何動力學屬于分析力學的近代發展。

本項目的貢獻主要有：1）完整保守系統的Lie對稱性首次推廣到完整非保守系統，在施加一些限制后推廣到非完整系統，也推廣到更一般的Birkhoff系統，并導出了守恒量；2）首次提出了一類新的對稱性－－形式不變性，它不同于Noether對稱性，也不同于Lie對稱性，它是指動力學函數（Lagrange函數，Hamilton函數，廣義力，約束方程中的函數等）在經歷無限小變換后仍然滿足原來動力學方程的一種對稱性。對各類約束力學系統給出形式不變性的定義和判據；3）首次研究了一般動力學系統的絕熱不變量；4）運用現代整體微分幾何方法，研究了約束力學系統的若干有爭議的基本問題和基本原理，特別是Pfaff約束系統的可積性問題、非完整變分法中Chetaev條件、 d-δ交換關系問題；5）給出幾類動力學系統的Poincaré-Cartan積分不變量，非完整系統的Birkhoff動力學與贗Poisson結構，以及非完整系統幾何動力學的Lagrange理論。

本項目十多年來在國家自然科學基金和省部委項目的長期支持下，較系統全面地研究了約束力學系統的對稱性理論和幾何理論。分析力學作為整個力學學科的基礎，本項目的成果具有重要科學價值。本項目提交的十篇代表論著被SCI他引323 次。其他十一篇主要論著被SCI他引294 次。本項目提交的在Appl. Mech. Rev.上發表的長文被俄羅斯、美國的同行專家引用，并收在2007年《力學學科發展研究報告》中。

本項目成果獲2007年教育部自然科學獎一等獎。

主要發現點： 1. 形式不變性的發現與提出（分析力學）

本項目于2000年對Lagrange系統提出"形式不變性"的定義和判據，并通過Noether對稱性導出了守恒量。2002年進一步研究了非完整系統的形式不變性，它與Lie對稱性的關系，并導出了守恒量。形式不變性是指動力學函數（如Lagrange函數，Hamilton函數，廣義力，約束方程中的函數等）在經歷時間和坐標的無限小變換后仍然滿足原來動力學方程的一種不變性。這種不變性是一種新的對稱性，它不同于Noether對稱性，也不同于Lie對稱性。形式不變性從力學角度比Noether對稱性和Lie對稱性更易理解。在Chin. Phys.和物理學報上有48篇文章引用上述結果，有的作者稱形式不變性為Mei對稱性。

2. Lie對稱性的推廣 （分析力學）

Lutzky于20世紀70年代末將微分方程在時間和坐標的無限小變換下不變的Lie對稱性首先應用于完整保守系統。本項目主要是將Lie對稱性理論推廣并應用于各類約束力學系統并求得守恒量。1994年將Lie對稱性理論推廣并應用于完整非保守系統。其后將Lie對稱性理論推廣并應用于各類約束力學系統，包括準坐標下一般完整系統，有多余坐標的完整系統，變質量完整系統，事件空間，相對運動動力學，非完整系統，Birkhoff系統等，同時也導出了相應的守恒量。發現對有多余坐標系統和非完整系統需要增加一些限制才行。上述結果被國內研究者多次引用并繼續發展。

3. 幾何動力學的推廣（分析力學）

幾何動力學是分析動力學的一個近代發展方向。本項目主要是將幾何動力學推廣并應用于非完整系統和Birkhoff系統等。證明了由Pfaff約束所確定的纖維化約束子流形上存在Ehressmann聯絡與非完整力學中的 d-δ交換關系密切相關，并證明了Pfaff系統完全可積性等價于經典變分學對條件變分的三點要求，借助于射叢的直和分解實現了Chetaev條件的幾何表示；建立了構造非保守、非完整動力學系統的Poincaré-Cartan積分不變量的辛幾何方法；在Hamilton力學Birkhoff推廣的框架內構造了約束力學系統的萬有辛結構；將非完整系統的Chetaev模型和Vacco模型的動力學方程分別表為Riemann-Cartan流形上的自平行線和測地線方程，將其差異歸于非完整約束所確定的流形的撓率；對非完整幾何動力學的Lagrange理論給出了綜述并介紹了作者的成果。文獻[10]被收錄于2005年"國家學科發展藍皮書"中。

主要完成人： 梅鳳翔

第一發現點與第二發現點。投入該項研究的工作量占本人工作量的80％。

1. 提出并發現約束力學系統的一類新的對稱性－形式不變性。首先，對Lagrange系統，后來對其他約束力學系統提出形式不變性的定義和判據，研究它與Noether對稱性，與Lie對稱性之間的關系并導出了守恒量。

2. 將Lie對稱性理論推廣并應用于準坐標下一般完整系統，有多余坐標完整系統，事件空間，相對運動動力學，非完整系統，Birkhoff系統等。給出各類系統Lie對稱性的定義，判據并導出了守恒量。

趙躍宇

第二發現點。投入該項研究的工作量占本人工作量的55％。

1993年在<<力學進展>>上發表綜述<<力學系統的對稱性與不變量>>，其后研究了完整保守系統的Lie對稱性理論,得到了一般動力學系統的絕熱不變量。在專著<<力學系統的對稱性與不變量>>中全面系統地論述了力學系統的對稱性與守恒量。這些工作在國內有關對稱性理論研究上起到了帶頭作用。

郭永新

第三發現點。投入該項研究的工作量占本人工作量的55％。

1. 利用幾何動力學方法，對經典非完整力學中的有爭議的微分－變分對易關系、關于變分的Chetaev條件等基本問題和經驗性論斷，進行了全面系統的論證。2.發現并證明了尋找動力學系統積分不變量的最有效方法－構造辛結構方法，從而改變了國內外傳統觀點。3. 構造了約束系統的萬有辛結構，從而實現了非完整系統普適的Birkhoff表示，此種方法為非完整系統的對稱性約化提供了新的途徑。4.找到了比較非完整約束系統的Chetaev模型和Vacco模型的共同幾何框架： Riemann-Cartan流形，證明了兩種模型分別刻畫了該流形的自平行線和測地線，將二者差異歸于非完整約束所確定的約束流形的撓率。