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項目名稱： 基于調和映射的移動網格方法及其應用
推薦單位： 教育部
項目簡介： 所屬科技領域：數學、計算數學。
研究內容：基于調和映射構造邏輯區域和物理區域之間的坐標變換，實現網格迭代移動；考慮邊界網格和區域內網格同步移動；利用移動網格逼近空間(時間方向)連續變化的特點，設計滿足偏微分方程(PDE)和解所具有的性質(如守恒等)的新舊網格之間解重映算法；研究PDE的保持物理性質的計算方法，將其與網格迭代重分布結合，發展求解PDE的一類基于調和映射的分裂型移動網格方法。將移動網格方法推廣應用于一般流形（如球面）上的PDE求解；面向應用，深入研究解重映和控制函數的選取。開發有自主知識產權的自適應網格方法軟件包。
科學價值：網格是PDE數值解法的基礎之一，網格體系和質量直接影響著計算效率和精度，甚至關系到計算的成敗。自適應網格方法已成為國際上現代科學計算的一個研究熱點，在大規模科學與工程計算中有很好的應用前景。我們提出的基于調和映射的分裂型移動網格方法徹底解決了過去的高維移動網格方法引起的網格纏繞問題。提出的區域邊界和內部網格相互耦合的移動方式、新舊網格間保持物理性質的解重映對提高計算精度和質量均具有特別重要的意義。網格的重分布和PDE的求解相對獨立，極大地提高了程序編制的效率，非常有利于算法的程序開發和實際應用。
引用評價：參評10篇論文主要發表在行業內最好的雜志如J. Comput. Phys., SIAM J. Numer. Anal., SIAM J. Sci. Comput., J. Sci. Comput.等，已被他引199次, 其中SCI他引130次。部分引用評價："Adaptive methods ... have been developed by Tang et al. [16]. ... their results are very impressive."(摘自B. Cockburn and B. Yenikaya, J. Comput. Phys., 209(2), 2005, 391-405)；"目前采用調和映照構造網格是最好的,……可避免因網格移動可能帶來的網格纏繞,……,我國青年學者張平文,湯濤,李若等在此方向做了重要的創造工作[82,83]。"(摘自陳傳淼, 科學計算概論, 科學出版社, 2007,71-72)。
主要發現點： 下列 1,2,3,4為核心發現點，5,6 為其它重要發現點。
1. 利用調和映射構造邏輯區域和物理區域之間的坐標變換并采用一個迭代的過程來實現網格的移動, 徹底解決了已有的高維移動網格方法中網格可能發生纏繞或折疊問題。也考慮了調和映射的推廣和改進使其自然地完成區域邊界上和內部的網格相互耦合的移動方式，根本地避免了過去的移動網格方法中邊界和內部網格必須分開處理的問題，使得產生的網格的質量更高，有效地提高計算的精度。[參評論文1,2,3,4,6,9,10；所屬學科領域：偏微分方程數值解]
2. 基于移動網格逼近空間(在時間方向)連續變化的特殊特點,設計了滿足控制方程和解所具有的性質(如守恒，無散度等)的新網格和舊網格之間的解重映算法。結果表明這樣的重映算法比傳統的多項式插值具有更好的性質，它可以自然地保持所求的解的一些固有物理性質。[參評論文1,2,3,4,6,9；所屬學科領域：偏微分方程數值解]
3. 發展了在一般網格上的偏微分方程的一些保持物理性質的計算方法；將其與網格迭代重分布和解重映結合，發展了求解微分方程的一類基于調和映射的分裂型移動網格方法。網格的重分布和偏微分方程的求解相對獨立，極大地提高了程序編制的效率，有利于算法的應用。[參評論文1,2,3,4,6,9,10；所屬學科領域：偏微分方程數值解]
4. 這些算法已經被包裝于有自主知識產權的軟件包AFEPack(國家軟件版權局軟著登字第BJ5586號）中。
5. 將調和映射成功推廣應用于球面上的偏微分方程的求解，解決了球面上的奇性問題（如Fokker-Planck方程）的計算，很大程度上提高了計算效率和精度。[參評論文10；所屬學科領域：偏微分方程數值解]
6. 面向應用、針對具體問題， 對一系列比較難于處理的典型時間發展問題進行了計算且獲得了非常好的效果。具體問題包括非線性對流擴散問題、反應擴散問題、多相流問題、磁流體力學問題等。[參評論文1,2,3,4,5,6,7,8,9,10；所屬學科領域：偏微分方程數值解]
主要完成人： 張平文
本人對該項目《主要發現點》欄中所列第1,2,3,5和6發現點做出了創造性貢獻。本人在該項研究中底工作量占本人工作量的70%。
湯濤
本人對該項目《主要發現點》欄中所列第1,2,3,5和6發現點做出了創造性貢獻。本人在該項研究中底工作量占本人工作量的70%。
李若
本人對該項目《主要發現點》欄中所列第1至6發現點做出了創造性貢獻。本人在該項研究中底工作量占本人工作量的80%。
湯華中
本人對該項目《主要發現點》欄中所列第1,2,3,6發現點做出了創造性貢獻。本人在該項研究中底工作量占本人工作量的80%。
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