項目名稱： 分布參數系統控制理論的幾何方法及相關問題

推薦單位： 中國科學院

項目簡介： 本項目研究的是分布參數系統控制理論. 本項研究針對有著明確工程背景的振動系統, 逐個進行控制理論分析. 一維問題有: 弦振動問題(吊橋鐵索), 梁振動問題(細長飛行器); 高維問題有: 波動問題(聲波), 板振動問題(大型太陽能帆板), 薄殼問題(潛水艇). 研究的主要目的是對工程控制噪音, 消除振動提供理論依據和理論指導.

在1986年之前, 分布參數控制理論界在假定材料是均勻的條件下,對波動問題和板振動問題建立了邊界控制及內部控制理論. 該理論的主要內容是說, 只要材料是均勻的, 人們總可以在邊界或內部施加控制來控制波和薄板振動系統. 這方面的代表人物有前法國科學院院長 J. L. Lions 和曾是著名雜志SIAM J. Control. Optim. 主編的 E. Lagnese 等. 當材料是非均勻時(密度和厚度非常數), 由于原有方法失效, 這些問題的研究在理論上十分困難. 1988年, J. L. Lions 在SIAM Reviews 將這一問題提作公開問題.

姚鵬飛1999年工作(SIAM,1999) 引入全新的工具--黎曼幾何理論, 建立了非均勻材料(變系數)波問題的控制理論分析, 回答了Lions問題. 隨后, 幾何方法的擴展使得一系列控制界所關注的問題獲得解決, 如非均勻材料(變系數)板的控制問題等. 特別是姚鵬飛2000年的工作(SIAM,2000), 用黎曼幾何中著名的Bochner技巧, 開創了薄殼控制問題的研究.

本項目引入的幾何方法, 已經形成了一個在分布參數系統控制理論方面的新的研究方向, 得到了國際同行一系列高度評價. 他人引用170次，其中SCI他人引用103次。特別地，該幾何方法已經被國際同行，如美國，法國，意大利，保家利亞等國的同行廣泛用于若干分布參數系統控制理論的研究中。 如最近Gulliver 等人的109頁綜述文章 IMA Volumes in Mathematics and its Applications 137 (2004, Springer出版)敘述了姚鵬飛及其合作者10篇文章中的主要結果并有大量評論，指出姚鵬飛引入的幾何方法形成一個新的研究方向, 99年的工作是這個方向上"原創性“工作。

主要發現點：

1、 核心發現點：

發現了解決等密度材料控制理論所用乘子方法其實是僅適用于"點度量"情形。第一次引入黎曼幾何理論建立了變密度材料波動問題控制理論與黎曼幾何理論的密切聯系，創立了研究分布參數系統控制問題的幾何方法（代表論文1, 最優化）。

2、其它重要發現點：

(1) 首次用整體幾何理論建立了薄殼數學模型和研究了薄殼的可控性問題，為薄殼的建模與控制研究提供了一般的研究工具（代表論文2，最優化）；

(2) 第一次用黎曼幾何理論研究了變系數薄板控制問題（代表論文3，最優化);

(3) 給出了一個C0半群有用的積分表達式，該公式算子值積分收斂（代表論文4，線性算子理論)。

主要完成人： 姚鵬飛

申請人 獨立發現《主要發現點》欄目中全部發現點。申請人完成了代表論文1－10中主要工作。 申請人在本項研究中的工作量占申請人全部科研工作的85%。